Question

设F₁、F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（　　）

• A、

  2

  x±y=0
• B、x±

  2

  y=0
• C、x±2y=0
• D、2x±y=0

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，求出△PF₁F₂的三边，比较即可得到最小的角，再由余弦定理，即可得到c=

3

a，再由a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．

解答： 解：不妨设P为右支上一点，
由双曲线的定义，可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|+|PF₂|=6a，
解得，|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
且|F₁F₂|=2c，
由于2a最小，即有∠PF₁F₂=30°，
由余弦定理，可得，cos30°=

|PF1|2+|F1F2|2-|PF2|2

2|PF1|•|F1F2|

=

16a2+4c2-4a2

2×4a•2c

=

3

2

．
则有c²+3a²=2

3

ac，即c=

3

a，
则b=

c2-a2

=

2

a，
则双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x，
即为y=±

2

x，
故选A．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的求法，考查三角形的余弦定理和运用，考查运算能力，属于中档题．