Question

已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β．下列命题中，其中正确命题的序号是

①④

．
①若α∥β，则m⊥l；       ②若α⊥β，则m∥l；
③若m⊥l，则α∥β；       ④若m∥l，则α⊥β．

Answer 1

分析：由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线m⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；
当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；
当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线l在平面α内，则有α和β相交于l，故③为假命题．
由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线l⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得④为真命题；

解答：解：∵m⊥平面α且α∥β可以得到直线m⊥平面β，又由直线l?平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；
因为直线m⊥平面α，且α⊥β可得直线m平行与平面β或在平面β内，又由直线l?平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；
由直线m⊥平面α以及l⊥m可得直线l平行与平面α或在平面α内，又由直线l?平面β得α与β可以平行也可以相交，即为③假命题．
因为直线m⊥平面α且l∥m可得直线l⊥平面α，又由直线l?平面β可得α⊥β；即④为真命题；
所以真命题为①④．
故答案为：①④．

点评：本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．