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(1)证明:
(2)若上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求锐二面角的余弦值;
(3)在(2)的条件下,设,求点到平面的距离。
(1)证明:由四边形为菱形,,知为正三角形
的中点∴,又…………………………1分
平面平面
平面平面,且,
平面,又平面,∴…………………………3分
(2)设,连结         
由(1)知平面,而,∴
与平面所成的角。………………………………………………4分
中,,当最小时,即当时,最大,此时
因此
 ∴…………………………………………………5分
方法一:平面平面, ∴平面平面
,则平面,过,连结,则为二面角的平面角。…………………………………………………… 6分
中,
为的中点,∴中,,

中,         
即所求二面角的余弦值为……………………………………………………………7分
方法二:由(1)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则:
………………………………………………………7分
设平面的一个法向量为
,因
,则……………………………………………………………8分
平面
为平面的法向量。……………………………………………………6分
         
二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为…………………………………………7分
(3)方法一:由(2)得:在,∴
中,,∴中,
,∴………………………………………………………………8分
,点到平面的距离,…………………9分
设点到平面的距离为
,∴
………………………………………………………………10分
方法二:由(2)解法2知,平面的一个法向量为……………………8分
又∵         
∴点到平面的距离为…………………………………10分
其余方法请酌情给分!!
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,四棱锥的底面是矩形,
底面PBC边的中点,SB
平面ABCD所成的角为45°,且AD=2,SA=1.
(1)求证:平面SAP
(2)求二面角ASDP的大小.          

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)
已知P在矩形ABCD边DC上,AB=2,BC=1,F在AB上且DF ⊥AP,垂足为E,将△ADP沿AP折起.使点D位于D′位置,连D′B、D′C得四棱锥D′—ABCP.
(I)求证D′F⊥AP;


 
  (II)若PD=1并且平面D′AP⊥平面ABCP,求四棱锥D′—ABCP的体积

 

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在正方体中,分别是的中点.
 
(1)证明;     (2)求所成的角;
(3)证明面;(4)的体积

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)
   如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD,底面ABCD为直角梯形,其中BCADABADAD=2AB=2BC=2,OAD中点。

(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD
(Ⅱ)求异面直线PDCD所成角的大小;
(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)已知三棱锥P—ABC中,PC⊥底面ABC,,,二面角P-AB-C为,D、F分别为AC、PC的中点,DE⊥AP于E.
(Ⅰ)求证:AP⊥平面BDE;                
(Ⅱ)求平面BEF与平面BAC所成的锐二面角的余弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
在长方体中,,过三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,且这个几何体的体积为
(1)求棱的长;
(2)若的中点为,求异面直线所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

关于直线a、b,以及平面M、N,给出下列命题:
①若a//M, b//M,则a//b      ②若a//M, b⊥M,则ab
③若a//b, b//M,则a//M      ④若a⊥M, a//N,则M⊥N
其中正确的命题的个数为(   )
A.0B.1C.2D.3

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在正方体ABCD A1B1C1D1中,已知E是棱C1D1的中点,则异面直线B1D1CE所成角的余弦值的大小是                                                                                               (   )
A.B.C.D.

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