(1)证明:由四边形
为菱形,
,知
为正三角形
∵
为
的中点∴
,又
∴
…………………………1分
∵
平面
,
平面
∴
而
平面
,
平面
,且
,
∴
平面
,又
平面
,∴
…………………………3分
(2)设
,连结
由(1)知
平面
,而
,∴
,
则
为
与平面
所成的角。………………………………………………4分
在
中,
,当
最小时,即当
时,
最大,此时
因此
,
又
∴
∴
…………………………………………………5分
方法一:
平面
,
平面
, ∴平面
平面
过
作
于
,则
平面
,过
作
于
,连结
,则
为二面角
的平面角。…………………………………………………… 6分
在
中,
又
为的中点,∴
在
中,
,
又
在
中,
即所求二面角的余弦值为
……………………………………………………………7分
方法二:
由(1)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则:
∴
………………………………………………………7分
设平面
的一个法向量为
,
则
,因
此
取
,则
……………………………………………………………8分
∵
,
平面
故
为平面的法向量。……………………………………………………6分
∴
二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为
…………………………………………7分
(3)方法一:由(2)得:在
中
,
,∴
在
中,
,∴
中,
,
又
,∴
………………………………………………………………8分
又
,点
到平面
的距离
,…………………9分
设点
到平面
的距离为
,
∵
,∴
,
∴
………………………………………………………………10分
方法二:由(2)解法2知,平面
的一个法向量为
……………………8分
又∵
∴点
到平面
的距离为
…………………………………10分
其余方法请酌情给分!!