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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,且DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD=1,数学公式
(Ⅰ)证明PA∥平面BDE;
(Ⅱ)证明AC⊥平面PBD;
(Ⅲ)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.

解:(1)证明:设AC∩BD=H,连接EH,在△ADC中,
因为AD=CD,且DB平分∠ADC,
所以H为AC的中点,又有题设,
E为PC的中点,故EH∥PA,
又HE?平面BDE,PA?平面BDE,所以PA∥平面BDE
(2)证明:因为PD⊥平面ABCD,
AC?平面ABCD,所以PD⊥AC
由(1)知,BD⊥AC,PD∩BD=D,
故AC⊥平面PBD
(3)由AC⊥平面PBD可知,
BH为BC在平面PBD内的射影,
所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角.
由AD⊥CD,AD=CD=1,DB=2,可得DH=CH=
在Rt△BHC中,tan∠CBH=
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为
分析:(1)欲证PA∥平面BDE,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE内一直线平行,设AC∩BD=H,连接EH,根据中位线定理可知EH∥PA,而又HE?平面BDE,PA?平面BDE,满足定理所需条件;
(2)欲证AC⊥平面PBD,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直,而PD⊥AC,BD⊥AC,PD∩BD=D,满足定理所需条件;
(3)由AC⊥平面PBD可知,BH为BC在平面PBD内的射影,则∠CBH为直线与平面PBD所成的角,在Rt△BHC中,求出此角即可.
点评:本小题主要考查直线与平面平行.直线和平面垂直.直线和平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理能力.
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2
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