Question

（2012•增城市模拟）已知点A（-1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线BM的斜率与直线AM的斜率的差为1．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若过点F（0，0）作直线交轨迹C于P，Q两点，证明以PQ为直径的圆与直线l：y=-1相切．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），利用直线BM的斜率与直线AM的斜率的差为1，建立方程，即可求得点M的轨迹C的方程；
（2）F（0，0）是抛物线的焦点，直线l：y=-1是抛物线的准线，取PQ的中点N，过P，Q，N分别作直线l的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，N₁，证明|NN1|=

1

2

(|PP1|+|QQ1|)=

1

2

|PQ|即可．

解答：（1）解：设M（x，y），则kAM=

y

x+1

，kBM=

y

x-1

（2分）
∵直线BM的斜率与直线AM的斜率的差为1
∴

y

x-1

-

y

x+1

=1（3分）
∴x2=2(y+

1

2

)(y≠0)（5分）
（2）证明：∵P=1，∴F（0，0）是抛物线的焦点，直线l：y=-1是抛物线的准线，（6分）
取PQ的中点N，过P，Q，N分别作直线l的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，N₁（7分）
则|PF|=|PP₁|，|QF|=|QQ₁|（9分）
∴|PQ|=|PP₁|+|QQ₁|（10分）
∵N为PQ的中点，且NN₁∥PP₁∥QQ₁，|NN1|=

1

2

(|PP1|+|QQ1|)=

1

2

|PQ|（11分）
所以以PQ为直径的圆与直线l：y=-1相切．（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查抛物线的定义，考查直线与圆的位置关系，正确运用抛物线的定义是关键．