Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈R．
（1）在所给坐标系中用五点法作出它在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{9π}{8}$]上的图象．
（2）求f（x）的单调区间．
（3）说明f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

分析 （1）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．
（2）由复合函数的单调性的求法求解函数的单调增区间；
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）列表：

2x+$\frac{π}{4}$	π	$\frac{3}{2}$π	2π	$\frac{5}{2}$π
x	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	$\frac{9π}{8}$
f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）	0	-$\sqrt{2}$	0	$\sqrt{2}$

描点连线得图象如图：
…4分
（2）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，得f（x）的单调增区间为：$[{-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ}]，k∈Z$．
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，得f（x）的单调减区间为：$[{\frac{π}{8}+kπ，\frac{5π}{8}+kπ}]，k∈Z$…8分
（3）把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到y=sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象，再把所得图象上点的
纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$，得到y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象，最后把所得图象上点的横坐标不变，
纵坐标扩大到原来的$\sqrt{2}$倍得到y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象；…12分

点评 本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．