Question

设函数f（x）对x≠0的任意实数，恒有f(x)-2f(

1

x

)=x2+1成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在(0，

4	2

]上是增函数．

Answer 1

分析：（1）由f（x）-2f(

1

x

) =x2+1，得f(

1

x

) -2f(x)=

1

x2

+1，由此能求出函数f（x）的解析式．
（2）任取0＜x₁＜x₂≤

4	2

．f(x1) -f(x2) =-

1

3

(x12+

2

x12

 )+

1

3

(x22+

2

x22

)=

1

3

(x22-x12)•

(x1x2+ 2 )(x1x2- 2 )

x12x22

，由0＜x₁＜x₂≤

4	2

，得

1

3

(x22-x12)•

(x1x2+ 2 )(x1x2- 2 )

x12x22

＜0，由此能够证明f（x）在（0，

4	2

]上是增函数．

解答：（1）解：由f（x）-2f(

1

x

) =x2+1，①
得f(

1

x

) -2f(x)=

1

x2

+1，②（2分）
①+②×②，得-3f（x）=x²+

2

x2

+3．
∴f(x)=-

1

3

(x2+

2

x2

)-1．（4分）
（2）证明：任取0＜x₁＜x₂≤

4	2

．（6分）
f(x1) -f(x2) =-

1

3

(x12+

2

x12

 )+

1

3

(x22+

2

x22

)
=

1

3

[(x22-x12)+

2(x12-x22)

x12x22

]
=

1

3

(x22 -x12)(1-

2

x12x22

)
=

1

3

(x22-x12)•

(x1x2+ 2 )(x1x2- 2 )

x12x22

                                            （8分）
∵0＜x₁＜x₂≤

4	2

，
∴x12＜x22，0＜x1x2＜

2

．
而x₁x₂＞0，x₁²x₂²＞0，
∴

1

3

(x22-x12)•

(x1x2+ 2 )(x1x2- 2 )

x12x22

＜0．（10分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，

4	2

]上是增函数．（12分）

点评：本题考查函数的恒成立问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．