Question

对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“周期点”，函数f（x）的“不动点”和“周期点”的集合分别记为A和B即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）=x]}．
（1）求证：A⊆B
（2）若f（x）=ax²-1（a∈R，x∈R），且A=B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）分A=∅和A≠∅的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明．
（II）理解A=B时，它表示方程ax²-1=x与方程a（ax²-1）²-1=x有相同的实根，根据这个分析得出求出a的值．

解答：证明：（1）?x∈A，即f（x）=x．
则有f[f（x）]=f（x）=x，x∈B
∴A⊆B
（2）∵f（x）=ax²-1
∴f[f（x）]=a（ax²-1）²-1
若f[f（x）]=x，则a（ax²-1）²-1-x=0a（ax²-1）²-1-x=a（ax²-1）²-ax²+ax²-x-1=a[（ax²-1）²-x²]+ax²-x-1=a（ax²-x-1）（ax²+x-1）+ax²-x-1=（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）
∴B={x|（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0}A={x|ax²-x-1=0}
当a=0时，A={-1}，B={-1}，A=B≠∅
∴a=0符合题意
当a≠0时，当A=B≠∅时，方程ax²-x-1=0有实根；对方程a²x²+ax-a+1=0根的情况进行分类讨论：
①若方程a²x²+ax-a+1=0有两个不相等的实根，则

1+4a＞0 a2-4a2(1-a)＞0 a≠0

此时a＞

3

4

．此时两个方程没有公共解，集合B中有四个元素．不合题意，舍去．
②若方程a²x²+ax-a+1=0有两个相等的实根，则
∴

1+4a≥0 a2-4a2(1-a)=0 a≠0

解得a=

3

4

．此时方程ax²-x-1=0的两根分别为-

2

3

 ，  2；a²x²+ax-a+1=0的实根为x1=x2=-

2

3

．验证得：A=B={-

2

3

 ，  2}．
③若方程a²x²+ax-a+1=0无实根，此时A=B．则

1+4a≥0 a2-4a2(1-a)＜0 a≠0

解得：-

1

4

≤a＜

3

4

且a≠0．
从而所求a的取值范围为{a|-

1

4

≤a≤

3

4

}．

点评：本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想，属中档题．