Question

给定下列四个函数：①f（x）=sinx；②g（x）=x

1

2

；③h（x）=lgx；④r（x）=(

1

2

)x．对于其定义域内的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

成立的函数有

②③

．（填上所有满足条件的函数的序号）

Answer 1

分析：利用特值法，可以对①④两个函数作出判断，利用基本不等式可判断②③．

解答：解：①f（x）=sinx，令x₁=0，x₂=-π，

x1+x2

2

=-

π

2

，f（

x1+x2

2

）=f（-

π

2

）=-1＜

f(x1)+f(x2)

2

=0，故①不满足题意；
②∵g（x）=x

1

2

；
∴g（

x1+x2

2

）=(

x1+x2

2

)

1

2

，

g(x1)+g(x2)

2

=

x1 + x2

2

，
g（

x1+x2

2

）≥

g(x1)+g(x2)

2

?

x1+x2

2

≥

x1+x2+2 x1x2

4

?(x1-x2)2≥0，故②正确；
③∵h（x）=lgx，
∴对于其定义域内的任意x₁＞0，x₂＞0，
h（

x1+x2

2

）=lg

x1+x2

2

≥lg

x1x2

=

1

2

lg（x₁x₂）=

1

2

[h（x₁）+h（x₂）]，即③正确；
对于④，r（x）=(

1

2

)x，不妨取x₁=0，x₂=2，

x1+x2

2

=1，r（1）=

1

2

，

1

2

[r（0）+r（2）]=

1

2

（1+

1

4

）=

5

8

，
r（1）＜

1

2

[r（0）+r（2）]，故④不满足题意．
故答案为：②③．

点评：本题考查指数函数、对数函数、幂函数及三角函数的单调性与特值，突出考查特值法与基本不等式的应用，属于中档题．