Question

选做题：
设集合A={x|x²-5x+4＞0}，B={x|x²-2ax+（a+2）=0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先化简集合A，根据A∩B≠∅，可知方程x²-2ax+（a+2）=0有解，且至少有一解在区间（-∞，-1）∪（4，+∞）内，直接求解情况比较多，考虑补集即可．

解答：解：A={x|x²-5x+4＞0}={x|x＜1或x＞4}．
∵A∩B≠∅，
∴方程x²-2ax+（a+2）=0有解，且至少有一解在区间（-∞，1）∪（4，+∞）内
直接求解情况比较多，考虑补集
设全集U={a|△≥0}=（-∞，-1]∪[2，+∞），P={a|方程x²-2ax+（a+2）=0的两根都在[1，4]内}
记f（x）=x²-2ax+（a+2），且f（x）=0的两根都在[1，4]内
∴

△≥0 f(1)≥0 f(4)≥0 1＜a＜4

，∴

a≤-1或a≥2 3-a≥0 18-7a≥0 1＜a＜4

，∴2≤a≤

18

7

，∴P=[2，

18

7

]
∴实数a的取值范围为(-∞，-1)∪(

18

7

，+∞)．

点评：本题以集合为载体，考查集合之间的关系，考查函数与方程思想，解题的关键是利用补集思想，合理转化．