Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），若椭圆C的一个焦点为F（

2

，0），其短轴上的一个端点到F的距离为

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点Q满足

AQ

=

QB

且

NQ

•

AB

=0，其中N为椭圆的下顶点，求直线在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆C的一个焦点为F（

2

，0），其短轴上的一个端点到F的距离为

3

，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+t．代入椭圆方程，消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．由△＞0，知t²＜1+3k²，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则则x₁+x₂=-

6kt

1+3k2

，x₁x₂=

3k2-3

1+3k2

，再结合

AQ

=

QB

且

NQ

•

AB

=0，即可求出截距t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C的一个焦点为F（

2

，0），其短轴上的一个端点到F的距离为

3

．
∴c=

2

，a=

3

，
∴b=1，
∴椭圆C的方程

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+t．
代入椭圆方程，消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．
∵直线l与椭圆交于不同两点A、B，
∴△=（6kt）²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
即t²＜1+3k²①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

6kt

1+3k2

，x₁x₂=

3k2-3

1+3k2

．
由

AQ

=

QB

，得Q为线段AB的中点，
∴x_Q=

x1+x2

2

=-

3kt

1+3k2

，y_Q=

t

1+3k2

．
∵

NQ

•

AB

=0，
∴k_AB•k_QN=-1，即

t 1+3k2 +1

- 3kt 1+3k2

•k=-1．
化简得1+3k²=2t，代入①得t²＜2t，解得0＜t＜2．
又由2t=1+3k²＞1，∴t＞

1

2

．
∴直线l在y轴上的截距t的取值范围是（

1

2

，2）．

点评：本题考查椭圆方程的求法和截距t的取值范围．解题时要认真审题，利用椭圆性质注意合理地进行等价转化．