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(湖北理21)(本小题满分14分)
已知m,n为正整数.
(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)对于n≥6,已知,求证,m=1,1,2…,n;
(Ⅲ)求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.
见解析
假设存在正整数成立,
即有()+=1. ②
又由(Ⅱ)可得
()+
+与②式矛盾,
故当n≥6时,不存在满足该等式的正整数n.
故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形;
当n=1时,3≠4,等式不成立;
当n=2时,32+42=52,等式成立;
当n=3时,33+43+53=63,等式成立;
当n=4时,34+44+54+64为偶数,而74为奇数,故34+44+54+64≠74,等式不成立;
当n=5时,同n=4的情形可分析出,等式不成立.
综上,所求的n只有n=2,3.
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