Question

设a＞2，给定数列{a_n}，a₁=a，a_n+1=

an2

2(an-1)

（n∈N⁺）．求证：a_n＞2，且a_n+1＜a_n（n∈N⁺）．

Answer 1

分析：利用数学归纳法证明，当n=1时结论成立，第二步假设n=k时结论成立，证明n=k+1时不等式也成立即可．

解答：证明：用数学归纳法证明a_n＞2，
（1）当n=1，a₁=a＞2，结论成立．
（2）假设当n=k（k≥2）时结论成立，即a_k＞2，
那么当n=k+1时，a _k+1-2
=

ak2-4ak+4

2(ak-1)

=

(ak-2)2

2(ak-1)

＞0，
即a_k+1＞2，
由（1）（2）可知对n∈N+时都有a_n＞2．
当a_n＞2，

an+1

an

=

an

2(a n-1)

=

1

2(1- 1 an )

＜

1

2(1- 1 2 )

=1，
所以a_n＞2，且a_n+1＜a_n（n∈N+）．

点评：本题是中档题，考查数学归纳法证明不等式的应用，注意第二步证明时用上假设．