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设a>2,给定数列{an},a1=a,an+1=
an22(an-1)
(n∈N+).求证:an>2,且an+1<an(n∈N+).
分析:利用数学归纳法证明,当n=1时结论成立,第二步假设n=k时结论成立,证明n=k+1时不等式也成立即可.
解答:证明:用数学归纳法证明an>2,
(1)当n=1,a1=a>2,结论成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时结论成立,即ak>2,
那么当n=k+1时,a k+1-2
=
ak2-4ak+4
2(ak-1)
=
(ak-2)2
2(ak-1)
>0,
即ak+1>2,
由(1)(2)可知对n∈N+时都有an>2.
当an>2,
an+1
an
=
an
2(a n-1)
=
1
2(1-
1
an
)
1
2(1-
1
2
)
=1,
所以an>2,且an+1<an(n∈N+).
点评:本题是中档题,考查数学归纳法证明不等式的应用,注意第二步证明时用上假设.
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设a>2,给定数列{xn},其中x1=a,xn+1=
x
2
n
2(xn-1)
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求证:
(1)xn>2,且
xn+1
xn
<1(n=1,2…)

(2)如果a≤3,那么xn≤2+
1
2n-1
(n=1,2…)

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1
2
a
2
n
(n∈N*)

(1)求证:an>2;
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x
2
n
2(xn-1)
(n∈N*)
求证:
(1)xn>2,且xn+1<xn(n∈N*);
(2)如果2<a≤3,那么xn≤2+
1
2n-1
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(08年重点中学模拟理)  (12分)设a>2,给定数列求证:

   (1),且

   (2)如果

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