Question

13．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在线段AB₁、BC₁上，且AM=BN．以下结论：①AA₁⊥MN；②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN与A₁C₁异面，⑤MN与 A₁C₁成30°．其中有可能成立的结论的个数为（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 ①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA₁⊥面AC，可得结论成立；
由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A₁B₁C₁D₁，故MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A₁C₁异面，FE与AC平行时，则平行，故②④可能成立；
⑤EF与AC成30°时，MN与 A₁C₁成30°．

解答 解：①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，
∵AM=BN，∴NE=MF，∴四边形MNEF是矩形，
∴MN∥FE，∵AA₁⊥面AC，EF?面AC，∴AA₁⊥EF，∴AA₁⊥MN，故①正确；
由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A₁B₁C₁D₁，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，
故③正确；
MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A₁C₁异面，FE与AC平行时，则平行，故②④可能成立；
⑤EF与AC成30°时，MN与 A₁C₁成30°．
故选A．

点评 本题考查线面平行、垂直，考查线面角的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．