Question

4．如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SD=1，SB=$\sqrt{3}$．
（I）求证BC⊥SC；　
（Ⅱ）求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅲ）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BC⊥SC，只需证明BC⊥面SDC，根据SD⊥底面ABCD证明SD⊥BC即可；
（Ⅱ）连接BD，∠ADB为二面角A-SD-B的平面角，根据ABCD是正方形，即可得到结论．
（Ⅲ）取AB中点N，连接MN，DN，∠NMD（或其补角）为异面直线DM与SB所成角，计算DM，DN，MN，即可得到结论；

解答 （Ⅰ）证明：∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD
∵SD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD
∴SD⊥BC
∵SD∩CD=D
∴BC⊥面SDC
∵SC?面SDC
∴BC⊥SC；
（Ⅱ）解：连接BD，∵SD⊥底面ABCD，AD，BD?底面ABCD
∴SD⊥AD，SD⊥BD
∴∠ADB为二面角A-SD-B的平面角，
∵ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°
∴二面角A-SD-B的平面角为45°，
（Ⅲ）取AB中点N，连接MN，DN，则SB=$\sqrt{3}$
∵正方形ABCD的边长为1，SD⊥底面ABCD，．
∴SD=1
∴DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
∵棱SA的中点为M，AB中点N，
∴MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，MN∥SB
∴∠NMD（或其补角）为异面直线DM与SB所成角
∵DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴∠NMD=90°
∴异面直线DM与SB所成角为90°

点评 本题考查线面垂直，线线垂直，考查线线角，面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判断，正确找出线线角，面面角，属于中档题．