Question

（06年上海卷理）（14分）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

解析：（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.

∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.

（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、

D、P的坐标分别是A(0,－,0),

B (1,0,0),  D (－1,0,0),  P (0,0, ).

E是PB的中点,则E(,0,)  于是=(,0, ),=(0, ,).

设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos,

∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；

解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点,得EF∥PA，

∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)，

在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，

于是, 在等腰Rt△POA中，PA=，则EF=.

在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，

  cos∠FED==

∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.