Question

已知x∈R，奇函数f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上单调，则实数b的取值范围是

{b|b≤3}

．

Answer 1

分析：由f（x）是R上的奇函数得f（0）=0，f（x）在[1，+∞）上单调得f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，求出b的取值范围．

解答：解：∵f（x）=x³-ax²-bx+c是R上的奇函数，
∴f（0）=c=0，f（-x）=-f（x），∴a=0；∴f（x）=x³-bx；
∴f′（x）=3x²-b；
又∵函数f（x）在[1，+∞）上单调，
∴f′（x）=3x²-b≥0恒成立，或f′（x）=3x²-b≤0恒成立；
∴只有b≤3x² 在[1，+∞）上恒成立，即b≤3；
故答案为：{b|b≤3}

点评：本题考查了函数的奇偶性及单调性的应用问题，以及应用导数来研究函数的单调性问题，是中档题．