【题目】(本题满分12分)如图, 是圆的直径,点是圆上异于的点, 垂直于圆所在的平面,且.
(Ⅰ)若为线段的中点,求证平面;
(Ⅱ)求三棱锥体积的最大值;
(Ⅲ)若,点在线段上,求的最小值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ).
【解析】解法一:(Ⅰ)在中,因为, 为的中点,
所以.又垂直于圆所在的平面,所以.
因为,所以平面.
(Ⅱ)因为点在圆上,
所以当时, 到的距离最大,且最大值为.
又,所以面积的最大值为.
又因为三棱锥的高,故三棱锥体积的最大值为.
(Ⅲ)在中, , ,所以.
同理,所以.
在三棱锥中,将侧面绕旋转至平面,使之与平面共面,如图所示.
当, , 共线时, 取得最小值.
又因为, ,所以垂直平分,
即为中点.从而,
亦即的最小值为.
解法二:(Ⅰ)、(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)在中, , ,
所以, .同理.
所以,所以.
在三棱锥中,将侧面绕旋转至平面,使之与平面共面,如图所示.
当, , 共线时, 取得最小值.
所以在中,由余弦定理得:
.
从而.
所以的最小值为.
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【题目】为了响应国家号召,某校组织部分学生参与了“垃圾分类,从我做起”的知识问卷作答,并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关?
不合格 | 合格 | |
男生 | 14 | 16 |
女生 | 10 | 20 |
(1)是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关?
(2)在成绩合格的学生中,利用性别进行分层抽样,共选取9人进行座谈,再从这9人中随机抽取5人发送奖品,记拿到奖品的男生人数为X,求X的分布列及数学期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.703 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.
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【题目】已知过原点的动直线与圆:相交于不同的两点,.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点的轨迹的方程;
(3)是否存在实数,使得直线:与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】四色猜想是世界三大数学猜想之一,1976年数学家阿佩尔与哈肯证明,称为四色定理.其内容是:“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总可以用1,2,3,4四个数字之一标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线围城的各区域上分别标有数字1,2,3,4的四色地图符合四色定理,区域和区域标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点,则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中,最大的是______.
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【题目】某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况,随机抽取了100位居民作为样本,就最近一年来网购消费金额(单位:千元),网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内,按,,,,,分成6组,其频率分布直方图如图所示.
(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数;
(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”,补全下面的列联表,并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”;
男 | 女 | 合计 | |
网购迷 | 20 | ||
非网购迷 | 45 | ||
合计 | 100 |
(3)调査显示,甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立,两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式,所得数据如下表所示:
网购总次数 | 支付宝支付次数 | 银行卡支付次数 | 微信支付次数 | |
甲 | 80 | 40 | 16 | 24 |
乙 | 90 | 60 | 18 | 12 |
将频率视为概率,若甲、乙两人在下周内各自网购2次,记两人采用支付宝支付的次数之和为,求的数学期望.
附:观测值公式:
临界值表:
0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】若函数和同时在处取得极小值,则称和为一对“函数”.
(1)试判断与是否是一对“函数”;
(2)若与是一对“函数”.
①求和的值;
②当时,若对于任意,恒有,求实数的取值范围.
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【题目】已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形,设随机变量表示所得三角形的面积.
(1)求概率的值;
(2)求随机变量的概率分布及其数学期望.
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