Question

在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，给出下列结论：
①由已知条件，这个三角形被唯一确定；
②△ABC一定是钝角三角形；
③sinA：sinB：sinC=7：5：3；
④若b+c=8，则△ABC的面积是

15 3

2

．
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），然后分别求出a、b、c的值，即可求出它们的比值，结合正弦定理即可求出sinA：sinB：sinC，利用余弦定理求出角A的余弦值即可判定A为钝角，根据面积公式即可求出三角形ABC的面积，再与题目进行比较即可．

解答：解：由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），
则a=

7

2

k，b=

5

2

k，c=

3

2

k，
∴a：b：c=7：5：3，
∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，∴③正确；
同时由于△ABC边长不确定，故①错；
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

25 4 k2+ 9 4 k2- 49 4 k2

2× 5 2 × 3 2 k2

=-

1

2

＜0，
∴△ABC为钝角三角形，∴②正确；
若b+c=8，则k=2，∴b=5，c=3，
又A=120°，∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

15

4

3

，故④错．
故答案：②③

点评：本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的运用，利用三角形的面积公式求解面积，属于基础题．