Question

（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P－ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°．

（1）证明：∠PBC＝90°；

（2）若PB＝3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，

又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB平面POB，

∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°.

(2)如图，

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，由PO＝BO＝，PB＝3，得∠POB＝120°，∴∠POz＝30°，∴P(0，－，)，则＝(－1，，0)，

＝(－1,0,0)，＝(0，，－)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则，取z＝，则n＝(0,1，)，

设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝.

【解析】本试题主要是考查了四棱锥中线面角的求解以及线面的垂直性质定理的运用。

（1）因为取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，

又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，这样可得到结论。

（2）建立空间直角坐标系，然后设出法向量坐标，利用向量的夹角公式得到结论。