Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于M？说明理由；
（2）若函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，求证：f（x）=a^x∈M；
（3）设f（x）∈M，且T=2，已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当-3＜x＜-2时，f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=x代入定义（x+T）=T f（x）验证，即可知函数f（x）=x不属于集合M；
（2）由题意存在x∈R使得a^x=x，由新定义知存在非零常数T使得a^T=T，将函数关系式代入f（x+T）=T f（x）验证，即可证得f（x）=a^x∈M；
（3）将-3＜x＜-2转化为1＜x+4＜2，利用当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，即可求得f（x+4）的解析式，再利用f（x+T）=Tf（x），即可求得f（x）的解析式．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x，
∴对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，
∵集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
而对任意x∈R，x+T=Tx，不能恒成立，
∴不满足上述性质，
∴f（x）=x∉M；
（2）∵函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
∴方程组

y=ax y=x

有解，消去y，可得a^x=x，
∵x=0不是方程a^x=x的解，
∴存在非零常数T，使a^T=T，
∴对于f（x）=a^x，有f（x+T）=a^x+T=a^T•a^x=T•a^x=Tf（x），
∴f（x）=a^x满足集合M中的性质，
∴f（x）=a^x∈M；
（3）∵-3＜x＜-2，
∴1＜x+4＜2，
∴f（x+4）=x+4+ln（x+4），
∵存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
∴令T=2，
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=2f（x+2）=4f（x），
∴f(x)=

1

4

[x+4+ln(x+4)]，
∴当-3＜x＜-2时，f（x）的解析式是f(x)=

1

4

[x+4+ln(x+4)]．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，函数解析式的求解及常用方法，指数函数的图象与性质．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．对于指数函数，如果底数a的值不确定范围，则需要对底数a进行分类讨论，便于研究指数函数的图象和性质．属于中档题．