Question

某企业2012年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从2013年起每年比上一年纯利润减少20万元，2013年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2013年为第1年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）．
（1）设从2013年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A_n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B_n万元（须扣除技术改造资金），求A_n，B_n的表达式；
（2）依上述预测，从2013年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

Answer 1

解：（1）依题设，A_n=（500-20）+（500-40）+…+（500-20n）=490n-10n²；
B_n=500[（1+）+（1+）+…+（1+）]-600=500n--100．
（2）B_n-A_n=（500n--100）-（490n-10n²）
=10n²+10n--100=10[n（n+1）--10]．
因为函数y=x（x+1）--10在（，+∞）上为增函数，
当1≤n≤3时，n（n+1）--10≤12--10＜0；
当n≥4时，n（n+1）--10≥20--10＞0．
∴仅当n≥4时，B_n＞A_n．
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．
分析：（1）根据从2013年起每年比上一年纯利润减少20万元，可得A_n的表达式；根据2013年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2013年为第1年）的利润为500（1+）万元，可得B_n的表达式；
（2）作差，利用函数的单调性，即可得到结论．
点评：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力．