Question

已知a＞b＞0F是方程的椭圆E的一个焦点，P、A，B是椭圆E上的点，与x轴平行，=，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，，原点O与A、B两点构成的△AOB的面积为S
（I ）求椭圆E的离心率
（II）设椭圆E上的点与椭圆£的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，S是否为定值？如果是，求出这个定值：如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I ）由a＞b＞0，P是椭圆E上的点，与x轴平行，知，由=，知，由此能求出离心率．
（II）由题设知椭圆E的方程为，若直线AB与x轴垂直，则由椭圆的对称性得A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁），由，知y₁=±2x₁．S=．当直线AB的斜率存在时，设直线AB为：kx-y+m=0，设A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），则，，由，知，由，得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，再由韦达定理进行求解．
解答：解：（I ）∵a＞b＞0，P是椭圆E上的点，与x轴平行，
∴，
∵=，
∴，
∴，
∴．
（II）∵椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，
∴ab=2，解方程组，得，
∴椭圆E的方程为．
若直线AB与x轴垂直，则由椭圆的对称性得A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁），
∵，
∴，
即y₁=±2x₁．
此时S=．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB为：kx-y+m=0，
设A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），
则，，
∵，
∴，
即（4+k²）x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0，
由，得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，
∴，
∴，
∵（4+k²）x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0，
∴8m²-4k²-16=0，即mk（x₁+x₂）+m²=0．
∵
=
=．
原点O到kx-y+m=0的距离，
∴．
综上所述，△AOB的面积是定值，等于1．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用韦达定理、点到直线距离公式，注意合理地进行等价转化．