Question

已知f（x）=（a-2）x²+2（a-2）x-4．
（1）当a=3时，解关于x的不等式f（x）≥-1；
（2）若f（x）＜0对一切x∈R恒成立，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=3代入f（x），即可列出关于x的不等式，求解即可得到不等式f（x）≥-1的解集；
（2）对a进行分类讨论，利用二次函数的性质列出不等关系，求解即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=3时，f（x）=x²+2x-4，
∴f（x）≥-1，即x²+2x-4≥-1，即x²+2x-3≥0，
∴x≤-3或x≥1，
∴关于x的不等式f（x）≥-1的解集为{x|x≤-3或x≥1}；
（2）f（x）＜0对一切x∈R恒成立，即（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对一切x∈R恒成立，
①当a-2=0，即a=2时，-4＜0对x∈R恒成立，
∴a=2满足题意；
②当

a＜0 △=22(a-2)2-4×(-4)×(a-2)＜0

，解得-2＜a＜0．
综合①②，可得-2＜a＜0或a=2，
故若f（x）＜0对一切x∈R恒成立，实数a的取值范围为（-2，0）∪{2}．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，同时考查了二次函数的相关性质，研究二次函数时，要抓住考口方向，对称轴以及判别式等．对于恒成立问题解决的方法常有：参变量分离法，求最值法，数形结合法．属于基础题．