【题目】已知椭圆C: (a>b>0)过点(1, ),且离心率e=.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),椭圆的右顶点为D,且满足·=0,试判断直线l是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
【答案】(1) (2) 直线过定点(,0)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由e=可得,利用,把点(1, )代入椭圆方程,即可得出椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,得到根与系数的关系,利用,得到kAD·kBD=-1,即可得出结论.
试题解析:(Ⅰ)由题意椭圆的离心率e=.
∴
∴a=2c
∴b2=a2-c2=3c2
∴椭圆方程为
又∵点(1, )在椭圆上
∴
∴c2=1
∴椭圆的方程为
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,
Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,3+4k2-m2>0,则x1+x2=,x1·x2=
∴y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
∵
∴kAD·kBD=-1
又∵椭圆的右顶点D(2,0),
∴,则y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0
,7m2+16mk+4k2=0,解得
m1=-2k,m2=,且满足3+4k2-m2>0
当m=-2k时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0)与已知矛盾;
当m=时,l:y=k(x),直线过定点(,0).
综上可知,直线l过定点,定点坐标为(,0).
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【题目】已知函数f(x)=x2-ax+2lnx,a∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若x>1时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】(导学号:05856287)
已知点A(0,1)与B(, )都在椭圆C: (a>b>0)上,直线AB交x轴于点M.
(Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标;
(Ⅱ)设O为原点,点D与点B关于x轴对称,直线AD交x轴于点N.问:y轴上是否存在点E,使得∠OEM=∠ONE?若存在,求点E的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线C1的参数方程为: (θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为: ,直线l的直角坐标方程为.
(l)求曲线C1和直线l的极坐标方程;
(2)已知直线l分别与曲线C1、曲线C2交异于极点的A,B,若A,B的极径分别为ρ1,ρ2,求|ρ2﹣ρ1|的值.
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位:分钟)进行调查,将收集的数据分成六组,并作出频率分布直方图(如图),将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据直方图中的数据填写下面的列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?
(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样,抽取8人,再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查,记“课外体育不达标”的人数为,求的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数的图像在上连续不断,定义:
(),(),其中表示函数在上的最小值, 表示函数在上的最大值,若存在最小正整数,使得对任意的成立,则称函数为上的“阶收缩函数”.
(1)若, ,试写出, 的表达式;
(2)已知函数, ,判断是否为上的“阶收缩函数”,如果是,求出对应的,如果不是,请说明理由;
(3)已知,函数,是上的2阶收缩函数,求的取值范围.
数学附加题
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【题目】已知曲线上任意一点到的距离比到轴的距离大1,椭圆的中心在原点,一个焦点与的焦点重合,长轴长为4.
(Ⅰ)求曲线和椭圆的方程;
(Ⅱ)椭圆上是否存在一点,经过点作曲线的两条切线(为切点)使得直线过椭圆的上顶点,若存在,求出切线的方程,不存在,说明理由.
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【题目】(导学号:05856330)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a3=4,a3,a4+2,a5成等差数列.数列{}的前n项和为Tn.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式以及前n项和Sn的表达式;
(Ⅱ)若Tn<m对任意n∈N*恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】如图所示,向高为H的水瓶A,B,C,D同时以等速注水,注满为止;
(1)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的a,则水瓶的形状是________;
(2)若水量ν与水深h的函数图像是下图中的b,则水瓶的形状是________;
(3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的c,则水瓶的形状是________;
(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的d,则水瓶的形状是________。
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