【答案】
分析:(Ⅰ)根据已知,容易写出直线l的方程为y=3(x+1).将圆心C(0,3)代入方程易知l过圆心C.
(Ⅱ)过A(-1,0)的一条动直线l.应当分为斜率存在和不存在两种情况;当直线l与x轴垂直时,进行验证.当直线与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由于弦长
,利用垂径定理,则圆心C到弦的距离|CM|=1.从而解得斜率K来得出直线l的方程为.
(Ⅲ)同样,当l与x轴垂直时,要对设t=
,进行验证.当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),代入圆的方程得到一个二次方程.充分利用“两根之和”和“两根之积”去找
.再用两根直线方程联立,去找
.从而确定t=
的代数表达式,再讨论t是否为定值.
解答:解:(Ⅰ)由已知
,故k
l=3,
所以直线l的方程为y=3(x+1).
将圆心C(0,3)代入方程易知l过圆心C.(3分)
(Ⅱ)当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;(4分)
当直线与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由于
,
所以|CM|=1.由
,解得
.
故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.(8分)
(Ⅲ)当l与x轴垂直时,易得M(-1,3),
,
又A(-1,0)则
,
,故
.即t=-5.(10分)
当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),代入圆的方程得(1+k
2)x
2+(2k
2-6k)x+k
2-6k+5=0.
则
,
,
即
,
=
.
又由
得
,
则
.
故t=
.
综上,t的值为定值,且t=-5.(14分)
另解一:连接CA,延长交m于点R,由(Ⅰ)知AR⊥m.又CM⊥l于M,
故△ANR∽△AMC.于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|.
由
,得|AM|•|AN|=5.
故
(14分)
另解二:连接CA并延长交直线m于点B,连接CM,CN,由(Ⅰ)知AC⊥m,又CM⊥l,
所以四点M,C,N,B都在以CN为直径的圆上,
由相交弦定理得
.(14分)
点评:(1)用直线方程时,一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况.一般是验证特殊,求解一般.
(2)解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解.
(3)涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时,常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程,再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解.这种方法通常叫做“设而不求”.