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如图,已知定圆C:x2+(y-3)2=4,定直线m:x+3y+6=0,过A(-1,0)的一条动直线l与直线相交于N,与圆C相交于P,Q两点,M是PQ中点.
(Ⅰ)当l与m垂直时,求证:l过圆心C;
(Ⅱ)当时,求直线l的方程;
(Ⅲ)设t=,试问t是否为定值,若为定值,请求出t的值;若不为定值,请说明理由.

【答案】分析:(Ⅰ)根据已知,容易写出直线l的方程为y=3(x+1).将圆心C(0,3)代入方程易知l过圆心C.
(Ⅱ)过A(-1,0)的一条动直线l.应当分为斜率存在和不存在两种情况;当直线l与x轴垂直时,进行验证.当直线与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由于弦长,利用垂径定理,则圆心C到弦的距离|CM|=1.从而解得斜率K来得出直线l的方程为.
(Ⅲ)同样,当l与x轴垂直时,要对设t=,进行验证.当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),代入圆的方程得到一个二次方程.充分利用“两根之和”和“两根之积”去找.再用两根直线方程联立,去找.从而确定t=的代数表达式,再讨论t是否为定值.
解答:解:(Ⅰ)由已知,故kl=3,
所以直线l的方程为y=3(x+1).
将圆心C(0,3)代入方程易知l过圆心C.(3分)
(Ⅱ)当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;(4分)
当直线与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由于
所以|CM|=1.由,解得
故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.(8分)
(Ⅲ)当l与x轴垂直时,易得M(-1,3),
又A(-1,0)则,故.即t=-5.(10分)
当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),代入圆的方程得(1+k2)x2+(2k2-6k)x+k2-6k+5=0.

=
又由

故t=
综上,t的值为定值,且t=-5.(14分)
另解一:连接CA,延长交m于点R,由(Ⅰ)知AR⊥m.又CM⊥l于M,
故△ANR∽△AMC.于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|.
,得|AM|•|AN|=5.
(14分)
另解二:连接CA并延长交直线m于点B,连接CM,CN,由(Ⅰ)知AC⊥m,又CM⊥l,
所以四点M,C,N,B都在以CN为直径的圆上,
由相交弦定理得.(14分)
点评:(1)用直线方程时,一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况.一般是验证特殊,求解一般.
(2)解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解.
(3)涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时,常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程,再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解.这种方法通常叫做“设而不求”.
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(Ⅰ)当l与m垂直时,求证:l过圆心C;
(Ⅱ)当|PQ|=2
3
时,求直线l的方程;
(Ⅲ)设t=
AM
AN
,试问t是否为定值,若为定值,请求出t的值;若不为定值,请说明理由.

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