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已知函数
(1)当b=2a时,求函数f(x)的极值?
(2)已知b>0,且函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,试用b表示出a的取值范围.
【答案】分析:(1)把b=2a代入到f(x)中,求出f'(x)=0时x的值,利用a的范围讨论函数的增减性得到函数的极值;
(2)因为函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,所以f'(x)=x2-(a+2)x+b≥0对x∈(0,2]恒成立,即恒成立,设g(x)=,求出导函数利用b的取值范围讨论函数的增减性得到g(x)的最小值,a小于等于最小值,列出不等式求出a的取值范围.
解答:解:(1)当b=2a时,
所以f'(x)=x2-(a+2)x+2a=(x-2)(x-a).令f'(x)=0,得x=2,或x=a.
①若a<2,则当x∈(-∞,a)时,f'(x)>0;当x∈(a,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.此时当x=a时,f(x)有极大值;当x=2时,f(x)有极小值
②若a=2,则f'(x)=(x-2)2≥0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时f(x)无极值.
③若a>2,则当x∈(-∞,2)时,f'(x)>0;当x∈(2,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.此时当x=2时,f(x)有极大值;当x=a时,f(x)有极小值
(2)解:因为函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,所以f'(x)=x2-(a+2)x+b≥0对x∈(0,2]恒成立,
对x∈(0,2]恒成立,所以
,则(b>0),
①若,即0<b<4,则当时,g'(x)<0;当时,f'(x)>0.
所以g(x)在上单调递减,在上单调递增.
所以当时,g(x)有最小值,所以当0<b<4时,
②若,即b≥4,则当x∈(0,2]时,g'(x)≤0,所以g(x)在(0,2]上单调递减,
所以当x=2时,g(x)有最小值,所以当b≥4时,
综上所述,当0<b<4时,;当b≥4时,
点评:考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数研究函数的单调性,以及会利用分类讨论的数学思想解决数学问题.
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