Question

【题目】设函数f（x）=2x﹣cosx，{an}是公差为 的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2﹣a1a5=（ ）
A.0
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x）=2x﹣cosx， ∴f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=2（a1+a2+…+a5）﹣（cosa1+cosa2+…+cosa5），
∵{an}是公差为 的等差数列，
∴a1+a2+…+a5=5a3 ， 由和差化积公式可得，
cosa1+cosa2+…+cosa5
=（cosa1+cosa5）+（cosa2+cosa4）+cosa3
=[cos（a3﹣ ×2）+cos（a3+ ×2）]+[cos（a3﹣ ）+cos（a3+ ）]+cosa3
=2cosa3cos +2cosa3cos（﹣ ）+cosa3=cosa3（1+ + ），
则cosa1+cosa2+…+cosa5的结果不含π，
又∵f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，
∴cosa3=0，故a3= ．
[f（a3）]2﹣a1a5=π2﹣（ ﹣2 ） = ．
故选：D．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的性质的相关知识点，需要掌握在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列才能正确解答此题．