Question

已知焦点在轴上椭圆的长轴的端点分别为，为椭圆的中心，为右焦点，且,离心率。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰好为的垂心？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）假设存在直线交椭圆与点两点，且恰为的垂心，设，，因为,故。于是设直线为，由得
所以：，
  
又   
即：
由韦达定理得：
解得或（舍去）
经检验符合条件，故直线的方程为。

略