Question

20．若曲线C₁：y=ax²（a＞0）与曲线C₂：y=e^x存在公切线，则a的取值范围为[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．

解答 解：由y=ax²（a＞0），得y′=2ax，
由y=e^x，得y′=e^x，
曲线C₁：y=ax²（a＞0）与曲线C₂：y=e^x存在公共切线，
设公切线与曲线C₁切于点（x₁，ax₁²），与曲线C₂切于点（x₂，e^x₂），
则2ax₁=e^x₂=$\frac{{{e}^{x}}_{2}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
可得2x₂=x₁+2，
∴a=$\frac{{e}^{\frac{{x}_{1}}{2}+1}}{2{x}_{1}}$，
记f（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}+1}}{2x}$，
则f′（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}+1}（x-2）}{4{x}^{2}}$，
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴当x=2时，f（x）_min=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴a的范围是[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有实数解的条件，是中档题．