Question

17．如图所示，矩形ABCD的边AB=m，BC=4，PA⊥平面ABCD，PA=3，现有数据：
①$m=\frac{3}{2}$；②m=3；③m=4；④$m=\sqrt{5}$．若在BC边上存在点Q（Q不在端点B、C处），使PQ⊥QD，则m可以取（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ②④
• D． ①

Answer 1

分析 根据三垂线定理结合PQ⊥QD，可得PQ在底面的射影AQ也与QD垂直，由此可得平面ABCD内满足条件的Q点应在以AD为直径的圆上，得出m≤2，即可选出正确选项．

解答 解：连接AQ，
因为PQ⊥QD，根据三垂线定理可得AQ⊥QD
在平面ABCD内，直径所对的圆周角为直角
所以Q点在以AD为直径的圆上，
故当BC与以AD为直径的圆有公共点时，在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD
因此AB≤$\frac{1}{2}$AD=2，即m≤2
故选：D．

点评 本题考查了空间的直线与平面、直线与直线的位置关系，属于中档题．充分利用三垂线定理和平面内点的轨迹，是解决本题的关键所在．