Question

△ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c．向量

m

=（

3

sin2x，1），

n

=（1，3+cos2x），设函数f（x）=

m

•

n

．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若2

AC

•

BC

=

2

ab，c=2

2

，f（A）=4，求b．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：综合题,平面向量及应用

分析：（1）向量

m

=（

3

sin2x，1），

n

=（1，3+cos2x），可得f（x）=

m

•

n

=

3

sin2x+3+cos2x=2sin（2x+

π

6

）+3，即可求出f（x）的单调区间；
（2）由f（A）=4，求出A，利用2

AC

•

BC

=

2

ab，求出C，可得B，再利用正弦定理即可求b．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（

3

sin2x，1），

n

=（1，3+cos2x），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sin2x+3+cos2x=2sin（2x+

π

6

）+3，
由2x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，可得x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），即函数的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），
由2x+

π

6

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3

2

π]，可得x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z），即函数的单调减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
（2）∵f（A）=4，
∴2sin（2A+

π

6

）+3=4，∴A=

π

3

，
∵2

AC

•

BC

=

2

ab，
∴2abcosC=

2

ab，
∴C=

π

4

，
∴B=

5π

12

，
∵c=2

2

，
∴b=

csinB

sinC

=

2 2 ×( 2 2 × 3 2 + 2 2 × 1 2 )

2 2

=

6

+

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积公式，考查三角函数的性质，考查正弦定理的运用，属于中档题．