Question

【题目】已知数列{an}满足a1=2，且anan+1+an+1﹣2an=0（n∈N+）．
（1）求a2、a3、a4的值；
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题得 ，又a1=2，则 ， ，

（2）解：猜想 ．

证明：①当n=1时， ，故命题成立．

②假设当n=k时命题成立，即

则当n=k+1时， ，

故命题也成立．

综上，对一切n∈N+都有 成立

【解析】（1）由题意可得 ，又a1=2，可求得a2 ， 再由a2的值求 a3 ， 再由a3 的值求出a4的值．（2）猜想 ，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式和数学归纳法的定义的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能正确解答此题．