Question

【题目】设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）= ，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，e2+ ]
B.（0，e2+ ]
C.（e2+ ，+∞]
D.（﹣e2﹣ ，e2+ ]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），

又∵g（x）= ，

∴函数g（x）至少存在一个零点可化为

函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；

即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，

则m= =﹣x2+2ex+ ，

m′=﹣2x+2e+ =﹣2（x﹣e）+ ；

故当x∈（0，e）时，m′＞0，

当x∈（e，+∞）时，m′＜0；

则m=﹣x2+2ex+ 在（0，e）上单调递增，

在（e，+∞）上单调递减，

故m≤﹣e2+2ee+ =e2+ ；

又∵当x+→0时，m=﹣x2+2ex+ →﹣∞，

故m≤e2+ ；

故选A．

【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．