Question

已知非零向量

a

，

b

的夹角为60°，且满足|

a

-2

b

|=2，，则

a

•

b

的最大值为

1

．

Answer 1

分析：根据已知等式，平方得：

|a|

2-4

a

•

b

+4

|b|

2=4…（*），由向量

a

，

b

的夹角为60°，得

a

•

b

=

1

2

|a|

|b|

，代入（*）并化简整理，得4+2

|a|

|b|

=

|a|

2+4

|b|

2，再利用基本不等式得到

|a|

|b|

≤2，得到当且仅当

|a|

=2

|b|

时，

a

•

b

的最大值为1．

解答：解：∵|

a

-2

b

|=2
∴|

a

-2

b

|2=(

a

-2

b

)2=4，即

|a|

2-4

a

•

b

+4

|b|

2=4…（*）
∵向量

a

，

b

的夹角为60°，
∴

a

•

b

=

|a|

|b|

cos60°=

1

2

|a|

|b|

代入（*），得

|a|

2-2

|a|

|b|

+4

|b|

2=4，所以4+2

|a|

|b|

=

|a|

2+4

|b|

2≥4

|a|

|b|

解之得：

|a|

|b|

≤2，当且仅当

|a|

=2

|b|

时，等号成立
∴

a

•

b

=

1

2

|a|

|b|

，

a

•

b

的最大值为1
故答案为：1

点评：本题给出向量等式，在已知两个向量夹角为60度的情况下，求它们数量积的最大值，着重考查了平面向量数量积的公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题．