Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，M，N分别为AD，PB的中点，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．
（1）求证：MN⊥平面PBC；
（2）求MN与平面ABC所成的角；
（3）求四面体P-MBC的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直．
（2）利用线面所成角的定义确定线面角，然后求出线面角的大小．
（3）利用四面体的体积公式求体积．

解答：解：（1）取PC的中点Q，连DQ，NQ，则NQ∥BC且NQ=

1

2

BC．
因为BC∥DM，DM=

1

2

BC，所以NQ∥DM，且NQ=DM，所以四边形NQDM是平行四边形．
所以DQ∥MN，
因为PD⊥面ABCS，BC?面ABCD，
所以PD⊥BC，
因为BC⊥DQ．
因为PD=AD=a，所以DQ⊥PC，
因为PC∩BC=C，
所以DQ⊥面PBC，因为DQ∥MN，所以MN⊥面PBC．
（2）由（1）知，MN∥DQ，
所以MN与面ABCD所成角即为DQ与面ABCD所成角的大小，
取DC的中点R，连QR，则QR∥PD，
所以QR⊥面ABCD，所以∠QDR即为DQ与面ABCD所成的角．
所以∠QDR=45°，即MN与面ABCD所成角为45°．
（3）因为MN⊥平面PBC，所以VP-MBC=VM-PBC=

1

3

MN?S△PBC=

1

3

×

2

2

a×

1

2

×

2

a?a=

1

6

a3．

点评：本题主要考查线面垂直的判定依据线面所成的角，要求熟练掌握相应的判定定理．