Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图像与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图像经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：设P（x0 ， y0），函数y=2lnx的导数为y′= ， 函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0= （x﹣x0），
即为 x﹣y+y0﹣2=0；
圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2 ，
即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；
由切线重合，可得
= = ，
即x0（3﹣x0）=2y0 ，
则P为二次函数y= x（3﹣x）图像上的点，
且该二次函数图像过O，M，
则当x= 时，二次函数取得最大值 ，
所以答案是： ．