【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为,离心率为,且.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知为坐标原点,过点的直线与椭圆交于,两点,点在椭圆上,若,试判断是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)先利用离心率得出再根据得出,由,向量数量积坐标化即可;
(2)直线斜率不存在和斜率为0时得出定值,斜率存在时设出直线方程,代入椭圆方程,利用弦长公式求出再利用垂直得出点P坐标,以此求出的数值.最后求得和为定值.
(Ⅱ)设,,
因为椭圆的离心率为,所以,即,因为,所以.
因为,所以,,
又,所以,即,解得(负值舍去),
所以,,故椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,,,
此时;
当直线的斜率为时,,,此时;
当直线的斜率存在且不为时,
设直线的方程为,,.
将代入,消去可得,
则,,
所以,
因为,所以直线的方程为,
设,因为点在椭圆上,所以由可得,
所以,
所以.
综上,为定值,该定值为.
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【题目】在等差数列中,已知公差, ,且, , 成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求.
【答案】(1);(2)100
【解析】试题分析:(1)根据题意, , 成等比数列得得求出d即可得通项公式;(2)求项的绝对前n项和,首先分清数列有多少项正数项和负数项,然后正数项绝对值数值不变,负数项绝对值要变号,从而得,得,由,得,∴ 计算 即可得出结论
解析:(1)由题意可得,则, ,
,即,
化简得,解得或(舍去).
∴.
(2)由(1)得时,
由,得,由,得,
∴
.
∴.
点睛:对于数列第一问首先要熟悉等差和等比通项公式及其性质即可轻松解决,对于第二问前n项的绝对值的和问题,首先要找到数列由多少正数项和负数项,进而找到绝对值所影响的项,然后在求解即可得结论
【题型】解答题
【结束】
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【题目】甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员,日工资方案如下: 甲公司规定底薪80元,每销售一件产品提成1元; 乙公司规定底薪120元,日销售量不超过45件没有提成,超过45件的部分每件提成8元.
(I)请将两家公司各一名推销员的日工资 (单位: 元) 分别表示为日销售件数的函数关系式;
(II)从两家公司各随机选取一名推销员,对他们过去100天的销售情况进行统计,得到如下条形图。若记甲公司该推销员的日工资为,乙公司该推销员的日工资为 (单位: 元),将该频率视为概率,请回答下面问题:
某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作,如果仅从日均收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.
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【题目】中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15-65岁的人群中随机调查100人,调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下:
年龄 | |||||
支持“延迟退休”的人数 | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
(1)由以上统计数据填2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异;
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
总计 |
参考数据:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中.
(2)若以45岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动、现从这8人中随机抽2人.记抽到45岁以上的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.
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【题目】在极坐标系中,已知圆C的圆心,半径r=3.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且,求动点P的轨迹的极坐标方程.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;
(2)直线与曲线交于两点,记弦的中点为,点,求.
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【题目】某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试,已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试题的概率为,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.
(1)试通过概率计算,分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大;
(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为,求的分布列.
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