Question

已知函数f(x)＝－x³－ax²＋b²x＋1(a、b∈R)．
(1)若a＝1，b＝1，求f(x)的极值和单调区间；
(2)已知x₁，x₂为f(x)的极值点，且|f(x₁)－f(x₂)|＝|x₁－x₂|，若当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒小于m，求m的取值范围

Answer 1

(1)f(x)＝－x³－x²＋x＋1，f′(x)＝－3x²－2x＋1
＝－(3x－1)(x＋1).

x	(－∞，－1)	－1	(－1，)		(，＋∞)
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	减	极小 值0	增	极大 值	减

f(x)的极大值为，极小值为0.
f(x)的单调增区间为，单调减区间为(－∞，－1)，.
(2)∵f(x)＝－x³－ax²＋b²x＋1，
∴f′(x)＝－3x²－2ax＋b²，又x₁，x₂为f(x)的极值点，
∴x₁，x₂为方程－3x²－2ax＋b²＝0的两根，
x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝－，
∵|f(x₁)－f(x₂)|＝|x₁－x₂|，
∴|－x－ax＋b²x₁＋1＋x＋ax－b²x₂－1|＝|x₁－x₂|，
整理得|x＋x₁x₂＋x＋a(x₁＋x₂)－b²|＝，
即＝，
∴a²＋3b²＝1，∴a²≤1.
∵k＝f′(x)＝－3x²－2ax＋b²＝－3x²－2ax＋，
f′(x)_max＝f′＝，
∴m＞.

略