Question

如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上．
（1）求梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，并求出它的定义域；
（2）求梯形ABCD的周长y的最大值．

Answer 1

（1）如图，作DE⊥AB于E，连接BD．
因为AB为直径，所以∠ADB=90°．（1分）
在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
所以Rt△ADB∽Rt△AED．（3分）
所以

AD

AB

=

AE

AD

，即AE=

AD2

AB

．
又AD=x，AB=4，所以AE=

x2

4

．（5分）
所以CD=AB-2AE=4-2×

x2

4

=4-

x2

2

，（6分）
于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4-

x2

2

+x=-

1

2

x2+2x+8（7分）
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，

x2

4

＞0，4-

x2

2

＞0，
解得0＜x＜2

2

．（9分）
故所求的函数为y=-

1

2

x2+2x+8(0＜x＜2

2

)．（10分）
（2）因为y=-

1

2

x2+2x+8=-

1

2

(x-2)2+10，（12分）
又0＜x＜2

2

，所以，当x=2时，y有最大值10．（14分）