Question

已知正数a，b满足a+b=1．
（1）求

2a+1

+

2b+1

的最大值；
（2）求

1

a

+

2

b

的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出

2a+1

+

2b+1

的平方的表达式，利用基本不等式求出ab的最大值，然后求出所求表达式的最大值；
（2）对于

1

a

+

2

b

的两边同乘a+b，然后利用基本不等式直接求出函数的最小值．

解答：解：（1）(

2a+1

+

2b+1

)2=2a+1+2b+1+2

(2a+1)(2b+1)

=4+2

4ab+3

，
因为正数a，b满足a+b=1，ab≤ (

a+b

2

)2 =

1

4

；
当且仅当a=b=

1

2

时取等号，
∴(

2a+1

+

2b+1

)2=4+2

4ab+3

≤8，
当且仅当a=b=

1

2

时，

2a+1

+

2b+1

的最大值为：2

2

．

（2）因为

1

a

+

2

b

=(

1

a

+

2

b

)(a+b)=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

a b • 2b a

=3+2

2

．当且仅当a²=2b²，时取等号．
所求最小值为：3+2

2

．

点评：考查基本不等式的应用，函数在表达式的最值的求法，考查转化思想，计算能力．