Question

A 若f（x）=2^x+2^-xlga是奇函数，则实数a=

1

10

．
B 已知关于x的方程x³-ax²-2ax+a²-1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是

a＜

3

4

．

Answer 1

分析：A．f（x）=2^x+2^-xlga是奇函数，可得f（-x（+f（x）=0，代入，即可求得实数a的值；
B．先把方程变形为关于a的一元二次方程，然后利用求根公式解得a=x-1或a=x²+x+1，进而有x=a+1或x²+x+1-a=0，根据原方程只有一个实数根，确定方程x²+x+1-a=0没有实数根，从而得到a的取值范围．

解答：解：A，∵f（x）=2^x+2^-xlga是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，即2^-x+2^xlga+2^x+2^-xlga=0
∴1+lga=0
∴a=

1

10

；
B，把方程变形为关于a的一元二次方程：a²-（x²+2x）a+x³-1=0，则△=（x²+2x）²-4（x³-1）=（x²+2）²，
∴a=

x 2+2x±(x 2+2)

2

，即a=x-1或a=x²+x+1．
所以有：x=a+1或x²+x+1-a=0．
∵关于x³-ax²-2ax+a²-1=0只有一个实数根，
∴方程x²+x+1-a=0没有实数根，即△′＜0，
∴1-4（1-a）＜0，解得a＜

3

4

．
所以a的取值范围是a＜

3

4

．
故答案为：

1

10

，a＜

3

4

．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查方程根的研究，B中把方程变形为关于a的一元二次方程，这种方法很有创意．