Question

【题目】已知函数f（x）=﹣ x2+（a﹣1）x+lnx．
（1）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）= x2+（1﹣2a）x+f（x）有且只有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=﹣ x2+（a﹣1）x+lnx，（x＞0），

f′（x）=﹣ax+（a﹣1）+ = ，

0＜﹣a＜1即﹣1＜a＜0时，﹣ ＞1，

令f′（x）＞0，解得：x＞﹣ 或0＜x＜1，

令f′（x）＜0，解得：1＜x＜﹣ ，

∴f（x）在（0，1）递增，在（1，﹣ ）递减，在（﹣ ，+∞）递增，

﹣a≤0即a≥0时，﹣ax﹣1＜0，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，

∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；

（2）解：若g（x）= x2+（1﹣2a）x+f（x）有且只有两个零点，

即lnx=ax有且只有两个零点，

即h（x）=lnx，y=ax有且只有2个交点，

由h（x）=lnx的图象与直线y=ax有两交点

可知；a＞0，

当直线与h（x）=lnx相切时，设切点（x0，lnx0）

∵h′（x）= ，

∴根据切线的斜率与导数值的关系可知： =a，即x0= ，

代入直线方程可得；ln =1，解得：a= ，

所以函数h（x）=lnx的图象与直线y=ax有两交点，

则0＜a＜

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）由h（x）=lnx的图象与直线y=ax有两交点可知；a＞0，再根据导数求出切线的斜率，即可求出有2个交点时a的范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．