Question

如图，正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=5．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求三棱锥E-ABD的体积．

Answer 1

（1）证明：因为AE⊥平面CDE，且CD?平面CDE，所以AE⊥CD，
又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD=A，AE，AD?平面ADE，
所以CD⊥平面ADE，
又CD?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE；
（2）解：由（1）知，BA⊥面AED，
∴V_E-ABD=V_B-AED=
因为AE⊥平面CDE，且DE?平面CDE，所以AE⊥DE，
∵ABCD为正方形，∴AD=AB=5
∵AE=3，∴ED=4
∴S_△AED==6
∴V==10．
分析：（1）由已知AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，结合正方形ABCD邻边垂直及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，进而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE；
（2）由（1）知，BA⊥面AED，则V_E-ABD=V_B-AED=，由此可得三棱锥E-ABD的体积．
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查三棱锥体积的计算，属于中档题．