Question

17．线段AB在平面α内，AC⊥α，BD⊥AB，且BD与α所成角是30°，如果AB=a，AC=BD=b，求C、D间的距离．

Answer 1

分析 设D在α上的射影为D′，由题意∠DBD′=30°，∠BDD′=60°，求出BD′，DD′，连结AD′，求出AD′，取AC中点E，四边形AEDD′是矩形，由此能求出C、D间的距离．

解答 解：设D在α上的射影为D′，则DD′⊥α．又∵AC⊥α，∴AC∥DD′．
即AC与BD所成的角就是BD与DD′所成的角，
∵线段AB在平面α内，AC⊥α，BD⊥AB，且BD与α所成角是30°，AB=a，AC=BD=b，
由题意，在Rt△DD′B中，∠DBD′=30°，∠BDD′=60°，
∴在Rt△DD′B中，BD′=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，DD′=$\frac{b}{2}$，
连结AD′，∵BD⊥AB，DD′⊥α，∴∠ABD′=90°，
解得AD′=$\sqrt{A{B}^{2}+B{{D}^{'}}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{3}{4}{b}^{2}}$，
取AC中点E，∵DD′=$\frac{b}{2}$，∴四边形AEDD′是矩形，
∴DE⊥CE，DE=D′A，
在Rt△CED中，CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{AC}{2}）^{2}+A{{D}^{'}}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{4}+{a}^{2}+\frac{3}{4}{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∴C、D间的距离为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

点评 本题考查两点间距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．