分析 以C为原点,在平面ABC内过C作CB的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,由此利用向量法能求出$\overrightarrow{C{A}_{1}}$与$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的夹角的余弦值.
解答 解:以C为原点,在平面ABC内过C作CB的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,
建立空间直角坐标系,
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,CC1=1,
∴C(0,0,0),A1($\sqrt{3}$,1,1),B(0,2,0),C1(0,0,1),
$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=($\sqrt{3},1,1$),$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=(0,-2,1),
设$\overrightarrow{C{A}_{1}}$与$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的夹角为θ,
则cosθ=|cos<$\overrightarrow{C{A}_{1}}$,$\overrightarrow{B{C}_{1}}$>|=|$\frac{\overrightarrow{C{A}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{C{A}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$|=|$\frac{-2+1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$|=$\frac{1}{5}$.
∴$\overrightarrow{C{A}_{1}}$与$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的夹角的余弦值为$\frac{1}{5}$.
点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | $\overrightarrow{a}$=(2,3),$\overrightarrow{b}$=(3,-2) | B. | $\overrightarrow{a}$=(2,3),$\overrightarrow{b}$=(4,-6) | C. | $\overrightarrow{a}$=(1,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{b}$=($\sqrt{3}$,3) | D. | $\overrightarrow{a}$=(4,7),$\overrightarrow{b}$=(7,4) |
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