Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当m＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，都有,成立，求m的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）.

【解析】

（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可解决，（2）根据题意可得f（x2）-x22）＜f（x1）-x12，构造函数，再求导，再分离参数，利用导数求出函数的最值即可．

（1）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=x+m+=，

m≥0时，f′（x）＞0， 故m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增；

m＜0时，方程x2+mx+m=0的判别式为： △=m2-4m＞0，

令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

故m＜0时，f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减；

（2）由（1）知，当m＞0时，函数f（x）在（0，+∞）递增，

又[1，2]（0，+∞），故f（x）在[1，2]递增；

对任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）， 故f（x2）-f（x1）＞0，

由题意得：f（x2）-f（x1）＜， 整理得：f（x2）-＜f（x1）-，

令F（x）=f（x）-x2=-x2+mx+mlnx， 则F（x）在[1，2]递减， 故F′（x）=，

当x∈[1，2]时，-x2+mx+m≤0恒成立，即m≤，

令h（x）=，则h′（x）＞0， 故h（x）在[1，2]递增，

故h（x）∈[，］， 故m≤．

实数的最大值为.