【题目】已知函数.
(1)证明:当时,;
(2)若有极大值,求的取值范围;
(3)若在处取极大值,证明:.
【答案】(1)见证明 (2)(3)见证明
【解析】
(1)当时,,,研究函数的单调性与最值即可证明不等式;
(2)由题设得.由有极大值得有解,且.利用极大值定义即可建立a的不等关系;
(3)由(2)知:当时,有唯一的极大值点, 且,故,结合函数的单调性即可证明.
(1)证明:当时,,,
令,则.
∴当时,,单调递减;当时,,单调递增.
∴当时,.
∴当时,,在上单调递增.
∴当时,,即.
(2)解:由题设得.由有极大值得有解,且.
令,则.由得.
∴当时,,单调递减;当时,,单调递增.
∴.
当,即时,,即,此时,在上单调递增,无极值;
当,即时,
∴,.
由(1)知:,即.
∴存在,,使.
∴当时,,即单调递增;当时,,
即单调递减;当时,,即单调递增.
∴是唯一的极大值点.
综上所述,所求的取值范围为.
(3)证明:由(2)知:当时,有唯一的极大值点,
且,故,
由(2)知:.
当时,,由(2)知:在上单调递增.
∴当时,,即.
∴当时,.
综上所述,.
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【题目】定义在上的函数,给出下列四个命题:
①若是偶函数,则的图像关于直线对称;
②若,则的图像关于点对称;
③若,且,则的一个周期为2;
④与的图像关于直线对称;
其中正确命题的序号为________
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【题目】已知 ,为个不同的幂函数,有下列命题:
① 函数 必过定点;
② 函数可能过点;
③ 若 ,则函数为偶函数;
④ 对于任意的一组数、、…、,一定存在各不相同的个数、、…、使得在上为增函数.其中真命题的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】已知动圆C过定点F(2,0),且与直线x=-2相切,圆心C的轨迹为E,
(1)求圆心C的轨迹E的方程;
(2)若直线l交E与P,Q两点,且线段PQ的中心点坐标(1,1),求|PQ|.
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【题目】如图,是边长为1的正三角形,点P在所在的平面内,且(a为常数),下列结论中正确的是( )
A.当时,满足条件的点P有且只有一个
B.当时,满足条件的点P有三个
C.当时,满足条件的点P有无数个
D.当a为任意正实数时,满足条件的点总是有限个
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【题目】如图,四棱锥PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(Ⅰ)证明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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【题目】已知椭圆C:+=1(a>b>0),且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若点M(,)在椭圆C上,不过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点,与直线OM相交于点N,且N是线段AB的中点,求△OAB面积的最大值.
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【题目】某企业为了提高企业利润,从2014年至2018年每年都对生产环节的改进进行投资,投资金额(单位:万元)与年利润增长量(单位:万元)的数据如表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
投资金额/万元 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 | 8.0 |
年利润增长量/万元 | 6.0 | 7.0 | 9.0 | 11.0 | 12.0 |
(1)记年利润增长量投资金额,现从2014年至2018年这5年中抽出两年进行调查分析,求所抽两年都是万元的概率;
(2)请用最小二乘法求出关于的回归直线方程;如果2019年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元,试估计该企业在2019年的年利润增长量为多少?
参考公式:,;
参考数据:,.
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