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【题目】已知函数.

(1)证明:当时,

(2)若有极大值,求的取值范围;

(3)若处取极大值,证明:.

【答案】(1)见证明 (2)(3)见证明

【解析】

1)当时,,研究函数的单调性与最值即可证明不等式;

2)由题设得.由有极大值得有解,且.利用极大值定义即可建立a的不等关系;

3)由(2)知:当时,有唯一的极大值点, 且,故,结合函数的单调性即可证明.

(1)证明:当时,

,则.

∴当时,单调递减;当时,单调递增.

∴当时,.

∴当时,上单调递增.

∴当时,,即.

(2)解:由题设得.由有极大值得有解,且.

,则.由.

∴当时,单调递减;当时,单调递增.

.

,即时,,即,此时,上单调递增,无极值;

,即时,

.

由(1)知:,即.

∴存在,使.

∴当时,,即单调递增;当时,

单调递减;当时,,即单调递增.

唯一的极大值点.

综上所述,所求的取值范围为.

(3)证明:由(2)知:当时,有唯一的极大值点,

,故

由(2)知:.

时,,由(2)知:上单调递增.

∴当时,,即.

∴当时,.

综上所述,.

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年份

2014

2015

2016

2017

2018

投资金额/万元

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

年利润增长量/万元

6.0

7.0

9.0

11.0

12.0

1)记年利润增长量投资金额,现从2014年至2018年这5年中抽出两年进行调查分析,求所抽两年都是万元的概率;

2)请用最小二乘法求出关于的回归直线方程;如果2019年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元,试估计该企业在2019年的年利润增长量为多少?

参考公式:

参考数据:.

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