Question

9．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M、N分别是A B．PC的中点．
（1）求证：平面MND⊥平面PCD； 
（2）求点P到平面MND的距离．

Answer 1

分析 （1）作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得 $\overrightarrow{MN}$、$\overrightarrow{ND}$、$\overrightarrow{PD}$的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面MND、平面PCD的法向量分别为 $\overrightarrow{m}$=（-2，-1，1）和 $\overrightarrow{n}$=（0，1，1），算出 $\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0可得$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，从而得出平面MND⊥平面PCD；
（2）由（1）中求出的平面MND法向量 $\overrightarrow{m}$=（-2，-1，1）与向量 $\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），利用点到平面的距离公式加以计算即可得到点P到平面MND的距离．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直，
如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
M（1，0，0），N（1，1，1），
∴$\overrightarrow{MN}$=（0，1，1），$\overrightarrow{ND}$=（-1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2）
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面MND的一个法向量，
可得$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=y+z=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{ND}=-x+y-z=0\end{array}\right.$，取y=-1，得x=-2，z=1，
∴$\overrightarrow{m}$=（-2，-1，1）是平面MND的一个法向量，同理可得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）是平面PCD的一个法向量，
∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-2×0+（-1）×1+1×1=0，∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，
即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD；
（2）由（1）得$\overrightarrow{m}$=（-2，-1，1）是平面MND的一个法向量，
∵$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），得$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{m}$=0×（-2）+2×（-1）+（-2）×1=-4，
∴点P到平面MND的距离d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}|}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{PD}\right|}$=$\frac{4}{\sqrt{4+1+1}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题在特殊的四棱锥中证明面面垂直，着重考查了利用空间向量研究平面与平面所成角、二面角的定义及求法和点到平面的距离等知识，属于中档题．