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2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为x=-1,准线上位于x轴下方的一点为M,过点M及焦点F的直线l与C的一个交点为N,且F为线段MN的中点.
(1)求抛物线C及直线l的方程;
(2)若直线l与抛物线C的另一个交点为P(异于N),求线段PN的长.

分析 (1)利用抛物线的定义,求出抛物线的方程,求出直线的斜率,即可求出直线l的方程;
(2)由$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0\\{y^2}=4x\end{array}\right.$,求出P,N的坐标,即可求线段PN的长.

解答 解:(1)∵抛物线C的准线为x=-1,∴$-\frac{p}{2}=-1$,∴p=2
∴抛物线C的方程为y2=4x…(2分)
∴抛物线C的焦点为F(1,0)…(3分)
设点N的横坐标为xN,∵F为线段MN的中点,∴$\frac{{-1+{x_N}}}{2}=1$,∴xN=3,
易知点N的纵坐标${y_N}=2\sqrt{3}$,∴l的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}-0}}{3-1}=\sqrt{3}$…5分)
∴直线l的方程为$y-0=\sqrt{3}({x-1})$,即$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$…(6分)
(2)由$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0\\{y^2}=4x\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\sqrt{3}\end{array}\right.$…(8分)
即$P({\frac{1}{3},\;-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}})\;\;,\;N({3,\;2\sqrt{3}})$…(10分)
∴$|PN|=\sqrt{{{({\frac{1}{3}-3})}^2}+{{({-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}-2\sqrt{3}})}^2}}=\frac{16}{3}$…(12分)

点评 本题考查抛物线的方程与性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.

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